Какое напряженное состояние называется плоским. Плоское напряженное и плоское. Плоское напряженное состояние

Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Геометрическая иллюстрация представлена на рис.1. При этом площадки х= const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны , а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

Нумерация корней произведена для случая

Рис.1. Исходное плоское напряженное состояние.

Рис.2. Позиция главных напряжений

Произвольная площадка характеризуется углом на рис. 1, при этом вектор п имеет компоненты: , , n х =0 . Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:

Наименьший положительный корень уравнения (4) обозначим через . Так как tg(х )—периодическая функция с периодом , то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 2).

Если продифференцировать соотношение (2) по и приравнять производную нулю, то придем к уравнению (4), что доказывает экстремальность главных напряжений.

Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения

откуда получим

Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что

Это равенство возможно, если углы и отличаются на угол . Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол (рис. 3).

Рис.3. Экстремальность касательных напряжений

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул

.

После некоторых преобразований получим

Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений (2.21), выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения

Аналогичная подстановка в (2) приводит к выражению для нормальных напряжений на площадках с

Полученные соотношения позволяют проводить направленно-ориентированный расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.

ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и после деформации отмечены на рисунке.

Рис.4. Плоская деформация.

По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна

Из рис. 4 следует

Учитывая, что MN=dx, получим

В случае малых деформаций, когда , , можно пренебречь квадратичными слагаемыми. С учетом приближенного соотношения

справедливого при x <<1, окончательно для малой деформации получим

Угловая деформация определяется как сумма углов и (4). В случае малых деформаций

Для угловой деформации имеем

Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной деформации, имеем девять соотношений

Этот тензор полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно следует из определения угловых деформаций. Главные значения и главные направления, а также экстремальные значения угловых деформаций и соответствующие им направления находятся теми же методами, что и для тензора напряжений.

Инварианты тензора деформаций определяются аналогичными формулами, причем первый инвариант тензора малых деформаций имеет ясный физический смысл. До деформации его объем равен dV 0 =dxdydz. Если пренебречь деформациями сдвига, которые изменяют форму, а не объем, то после деформации ребра будут иметь размеры

(рис. 4), а его объем будет равен

Относительное изменение объема

в пределах малых деформаций составит

что совпадает с определением первого инварианта. Очевидно, что изменение объема есть физическая величина, не зависящая от выбора системы координат.

Так же, как и тензор напряжений, тензор деформаций можно разложить на шаровой тензор и девиатор. При этом первый инвариант девиатора равен нулю, т. е. девиатор характеризует деформацию тела без изменения его объема.

Плоское напряженное состояние (σ z = 0; 0)

Плоская пластина нагружена в ее плоскости (рис.2.13, а). Толщина её δ очень мала по сравнению с размерами а и с. Если выделить элемент с размерами dх, dy и δ в любой точке пластины, то на его гранях возникнут напряжения σ х, σ y , τ xy и τ yx (рис.2.13, б).

На боковых гранях этого элемента напряжения отсутствуют: σ z = 0; τ zx =0; τ zy = 0, и мы имеем плоское напряженное состояние тела, то есть две параллельных грани бесконечно малого элемента, выделенного в любой точке тела, свободны от напряжений. Напряжения σ х, σ y , τ xy и τ yx равномерно распределены по толщине пластины.

Рисунок 2.13 – Схема определения плоского напряженного состояния

При плоском напряженном состоянии в каждой точке изменяется толщина пластины. Деформация в направлении оси Z по закону Гука равна:

Толщина пластины в каждой точке вследствие поперечной деформации изменяется на величину δ = z δ = - (σ x + σ y).

Плоская деформация ( z = 0; σ z 0)

Имеем очень длинное цилиндрическое тело, равномерно нагружен-ное по всей длине в (рис.2.14, а). Мысленно рассечем это тело на отде-льные слои толщиной δ=1. Если бы эти слои испытывали плоское напря-женное состояние, то в каждой точке пластины толщина изменялась бы на величину Δδ. Но в результате противодействия соседних слоёв это невоз-можно, поэтому каждый слой деформируется в условиях (рис.2.14, б), где он как бы зажат между двумя абсолютно твердыми поверхностями, прину-дительно обеспечивающими условия неизменяемости толщины слоя

Δδ = 0. При этом перемещение во всех точках тела происходит только в параллельных плоскостях XY (см.рис.2.14, б). Так как перемещения W, U, V относительно оси Z отсутствуют, то имеем:

Рисунок 2.14 – Схема определения плоской деформации

Это и есть плоская деформация. По закону Гука имеем:

Z = (σ z - μσ x - μσ y) / E = 0 .

В местах, где пластина должна была утолщаться, появятся сжимаю-щие напряжения σ z , а в местах возможного утонения – растягивающие напряжения σ z (рис.2.14,в) В обоих случаях

Лекция 15

Примером конструкции, все точки которой находятся в плоском напряженном состоянии, может служить тонкая пластинка, нагруженная по торцам силами, которые лежат в ее плоскости. Поскольку боковые поверхности пластинки свободны от напряжений, то в силу малости ее толщины можно считать, что и внутри пластинки на площадках, параллельных ее поверхности, напряжения пренебрежимо малы. Подобная ситуация возникает, например, при нагружении валов и балок тонкостенного профиля.

В общем случае, говоря о плоском напряженном состоянии, мы имеем в виду не всю конструкцию, а только рассматриваемую точку ее элемента. Признаком того, что в данной точке напряженное состояние является плоским, служит наличие проходящей через нее площадки, на которой отсутствуют напряжения. Такими точками будут, в частности, точки свободной от нагрузок внешней поверхности тела, которые в большинстве случаев и являются опасными. Отсюда понятно внимание, которое уделяется анализу этого вида напряженного состояния.

При изображении элементарного параллелепипеда, находящегося в плоском напряженном состоянии, достаточно показать одну из его ненагруженных граней, совместив ее с плоскостью чертежа (рис. 15.1).Тогда нагруженные грани элемента совместятся с границами показанной площадки. При этом система обозначений для напряжений и правила знаков остаются прежними – изображенные на рисунке компоненты напряженного состояния положительны. С учетом закона парности касательных напряжений

t xy = t yx , плоское напряженное состояние (ПНС) описывается тремя независимыми компонентами - s x , s y , t xy . .

НАПРЯЖЕНИЯ НА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Выделим из элемента, изображенного на рис. 15.1, треугольную призму, мысленно разрезав его наклонным сечением, перпендикулярным плоскости чертежа xOy . Положение наклонной площадки и связанных с ней осей x 1 , y 1 зададим с помощью угла a, который будем считать положительным при повороте осей против часовой стрелки.

Как и для описанного выше общего случая, показанные на рис. 15.2, напряжения можно считать действующими в одной точке, но на различно ориентированных площадках. Напряжения на наклонной площадке найдем из условия равновесия призмы, выразив их через заданные напряжения s x , s y , t xy на гранях, совпадающих с координатными плоскостями. Обозначим площадь наклонной грани dA , тогда площади координатных граней найдутся так:

dA x = dA cos a,

dA y = dA sin a.

Спроектируем действующие на гранях призмы силы на оси x 1 и y 1:

Сократив на общий множитель dA , и выполнив элементарные преобразования, получим

Если учесть, что

выражениям (15.1) можно придать следующий окончательный вид:

На рис. 15.3 вместе с исходным показан бесконечно малый элемент, ориентированный по осям x 1 ,y 1 . Напряжения на его гранях, нормальных к оси x 1 , определяются формулами (15.2). Чтобы найти нормальное напряжение на грани, перпендикулярной к оси y 1 , необходимо вместо угла a подставить значение a + 90°:

Касательные напряжения и в повернутой системе координат x 1 y 1 подчиняются закону парности, т. е.

Сумма нормальных напряжений, как известно из анализа объемного напряженного состояния, является одним из его инвариантов и должна оставаться постоянной при замене одной системы координат на другую. В этом легко убедиться, сложив нормальные напряжения, определяемые из формул (15.2), (15.3):

ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Ранее мы установили, что площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками, а напряжения на них – главными напряжениями. При плоском напряженном состоянии положение одной из главных площадок известно заранее – это площадка, на которой нет напряжений, т.е. совмещенная с плоскостью чертежа (см. рис.15.1). Найдем перпендикулярные ей главные площадки. Для этого положим равным нулю касательное напряжение в (15.1), откуда получим

Угол a 0 показывает направление нормали к главной площадке, или главное направление , поэтому его называют главным углом. Поскольку тангенс двойного угла является периодической функцией с периодом p/2 , то угол

a 0 + p/2 – тоже главный угол. Таким образом, всего имеется три главных площадки, причем все они взаимно перпендикулярны. Исключение составляет лишь случай, когда главных площадок не три, а бесконечное множество – например, при всестороннем сжатии, когда любое выбранное направление является главным, а напряжения одинаковы на всех проходящих через точку площадках.

Для нахождения главных напряжений можно воспользоваться первой из формул (15.2), подставляя вместо угла a последовательно значения a 0 и

Здесь учтено, что

Тригонометрические функции из выражений (15.5) можно исключить, если использовать известное равенство

А так же учесть формулу (15.4). Тогда получим

Знак плюс в формуле соответствует одному из главных напряжений, минус – другому. После их вычисления можно воспользоваться принятыми обозначениями для главных напряжений s 1 ,s 2 ,s 3 , учитывая, что s 1 – алгебраически наибольшее, а s 3 – алгебраически наименьшее напряжение. Иными словами, если найденные по выражениям (15.6) оба главных напряжения окажутся положительны, мы получим

Если оба напряжения будут отрицательны, будем иметь

Наконец, если выражение (15.6) даст значения напряжений с разными знаками, то главные напряжения будут равны

НАИБОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Если мысленно поворачивать оси x 1 y 1 и связанный с ними элемент (см. рис. 15.3), напряжения на его гранях будут меняться, и при некотором значении угла a нормальное напряжение достигнет максимума. Поскольку сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках остается величиной постоянной, то напряжение будет в этот момент наименьшим.

Чтобы найти это положение площадок, нужно исследовать на экстремум выражение , рассматривая его как функцию аргумента a:

Сравнив выражение в скобках с (15.2), приходим к выводу, что на искомых площадках равны нулю касательные напряжения. Таким образом, нормальные напряжения достигают экстремальных значений именно на главных площадках.

Чтобы найти наибольшее по величине касательное напряжение, примем в качестве исходных главные площадки, совместив оси x и y с главными направлениями. Формулы (15.1), в которых угол a будет теперь отсчитываться от направления s 1 , получат вид:

Из последнего выражения следует, что касательные напряжения достигают наибольших значений на площадках, повернутых к главным на 45°, когда

sin 2a = ±1 . Их максимальное значение при этом равно

Отметим, что формула (15.8) справедлива и в том случае, когда

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. КРУГИ МОРА

Формулы (15.7), по которым определяются напряжения на площадке, повернутой на некоторый угол α по отношению к главной, имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Считая для определенности оба главных напряжения положительными, введем следующие обозначения:

Тогда выражения (15.7) приобретут вполне узнаваемый вид параметрического уравнения окружности в координатах σ и τ :

Индекс “ α “, в обозначениях подчеркивает, что напряжения находятся на площадке, повернутой к исходной на этот угол. Величина а определяет положение центра окружности на оси σ; радиус окружности равен R . Изображенная на рис. 15.5 круговая диаграмма напряжений по сложившейся традиции называется кругом Мора, по имени предложившего ее известного немецкого ученого Отто Мора (1835 – 1918 г.г.). Направление вертикальной оси выбрано с учетом знака τ α в (15.10). Каждому значению угла α соответствует изображающая точка K (σ α, τ α ) на окружности, координаты которой равны напряжениям на повернутой площадке. Взаимно перпендикулярным площадкам, у которых угол поворота отличается на 90˚, соответствуют точки K и K ’, лежащие на противоположных концах диаметра.

Здесь учтено, что

поскольку формулы (15.2) и (15.7) при изменении угла на 90 0 дают знак касательного напряжения в повёрнутой системе координат, у которой одна из осей совпадает по направлению с исходной осью, а другая противоположна по направлению (рис. 15.5)

Если в качестве исходных площадок выступают главные, т.е. известна величина σ 1 и σ 2 , круг Мора легко строится по точкам 1 и 2. Луч, проведённый из центра круга под углом 2a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку, координаты которой равны искомым напряжениям на повёрнутой площадке. Однако, удобнее пользоваться так называемым полюсом круга, направляя из него луч под углом a. Из очевидного соотношения между радиусом и диаметром круга, полюс, обозначаемый на чертеже буквой A , будет в данном случае совпадать с точкой 2. В общем случае полюс находится на пересечении нормалей к исходным площадкам. Если исходные площадки не являются главными, круг Мора строится следующим образом: на плоскость σ - t наносятся изображающие точки K (σ x ,t xy ) и K ’(σ y ,-t xy ), соответствующие вертикальной и горизонтальной исходным площадкам. Соединяя точки прямой, в пересечении с осью σ находим центр круга, после чего строится сама круговая диаграмма. Пересечение окружности с горизонтальной осью даст значение главных напряжений, а радиус будет равен наибольшему касательному напряжению. На рис. 15.7 показан круг Мора, построенный по исходным площадкам, не являющимся главными. Полюс A находится на пересечении нормалей к исходным площадкам KA и K ’A . Луч AM , проведённый из полюса под углом a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку M (σ a ,t a), координаты которой представляют собой напряжения на интересующей нас площадке. Лучи, проведённые из полюса в точки 1 и 2, покажут главные углы a 0 и a 0 +90 0 . Таким образом, круги Мора являются удобным графическим средством анализа плоского напряжённого состояния.

б) Напряжение на грани элемента, повёрнутого на 45 0 , найдём по (15.1)

Нормальное напряжение на перпендикулярной площадке

(a = 45 0 +90 0) будет равно

в) Наибольшие касательные напряжения найдём по (15.8)

2. Графическое решение.

Построим круг Мора по изображающим точкам K (160,40) и K ’ (60, -40)

Полюс круга A найдем на пересечении нормалей к исходным площадкам.

Круг пересечёт горизонтальную ось в точках 1 и 2. Точка 1 соответствует главному напряжению σ 1 =174 МПа, точка 2 – значению главного напряжения σ 2 = 46 МПа. Луч, проведенный из полюса A через точки 1 и 2, покажет значение главных углов. Напряжения на площадке, повёрнутой на 45 0 к исходной, равны координатам изображающей точки M , находящейся на пересечении окружности с лучом, проведенным из полюса A под углом 45 0 . Как видим, графическое решение задачи анализа напряжённого состояния совпадает с аналитическим.

Действие отброшенной части на оставшуюся вблизи точки B будет представлено напряжениями напоминаем что первый индекс для касательных напряжений соответствует оси нормальной к сечению второй оси параллельно которой направлено касательное напряжение. Напряжения в наклонных сечениях Поставим задачу: Определить напряжения в произвольном сечении проходящем через заданную точку B плиты.

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние , когда нормальные напряжения возникают как в направлении оси Х, так и оси Y (например, в тонкостенных сосудах нагруженных внешним давлением). А в сечениях, перпендикулярных осям X и Y действуют касательные напряжения (в балках при изгибе) называется плоским (двухосным) напряженном состоянием .

Покажем, что в плоском напряженном состоянии находится, например, плита (или пластина) произвольной формы с толщиной малой по сравнению с прочими размерами. По контуру плиты действует любая взаимно уравновешенная система внешних сил, распределенных равномерно по толщине и параллельных срединному слою. Вследствие малости изменением напряжений в направлении, перпендикулярном к наружным плоскостям плиты, можно пренебречь. В то же время, т.к. внешние силы на наружных плоскостях отсутствуют, то любой элементарной площадке этих поверхностей усилий и напряжений равны нулю, а следовательно, они равны нулю, и для всех сечений, параллельных этим поверхностям. Эти сечения являются главными, поэтому в рассматриваемом случае одно из главных напряжений равно нулю.

Отнесем тело к координатным осям XOY , расположенным в плоскости срединного слоя. Мысленно рассечем плиту (пластину) сечениями I и II , перпендикулярными осям X и Y . Действие отброшенной части на оставшуюся, вблизи точки B будет представлено напряжениями (напоминаем, что первый индекс для касательных напряжений соответствует оси нормальной к сечению, второй- оси параллельно которой направлено касательное напряжение). Таким образом в общем случае вблизи произвольной точки плиты создается плоское напряженное состояние, при котором.

Напряжения в наклонных сечениях

Поставим задачу: Определить напряжения в произвольном сечении, проходящем через заданную точку B плиты.

Для этого проведем сечение III бесконечно близко от точки B . Полное напряжение в этом сечении можно считать равным полному напряжению в сечении, проходящем через точку B . Положение сечения определяется углом, который составляет с осью X нормаль N к сечению.

Мысленно выделим из плиты треугольную пластину BCD находящуюся, как и все тело в равновесии. В Виду бесконечно малых размеров пластинки полагаем напряжения равномерно распределенными по граням. Тогда равнодействующая сил, действующих на каждую грань пластинки, может вычисляться, как произведение напряжения на площадь соответствующей грани и будет приложена к центру тяжести грани. Поместим начало координат в точке -центр тяжести грани CD .

Считаем, что напряжения известны. Найдем - составляющие полного напряжения S по координатным осям, а также нормальные и касательные напряжения на грани CD . Составляем уравнения равновесия:

1. Сумму моментов относительно точки

После сокращения получим

(1)

Этот результат выражает условие равновесия касательных сил во взаимно перпендикулярных сечениях в непосредственной близости прямого угла, касательные напряжения имеют равные модули и направлены к вершине прямого угла (или от вершины, когда направлены в стороны, противоположные показанным на рисунке).

Обозначим, тогда, где, -направляющие косинусы.

Уравнения проекции

После сокращения на A

(2)

Найдем нормальную и касательную компоненты полного напряжения

Учитывая, что, получим

(3)

Можно показать, что:

• - во взаимно перпендикулярных сечениях сумма нормальных напряжений постоянна, а модули касательных напряжений равны;
• - в параллельных сечениях нормальные и касательные напряжения равны по модулю и знаку.

Правила знаков:

• положительные:

Нормальные напряжения, если растягивающие;

Касательные напряжения, если создают вращения элемента BCD относительно точки внутри него против часовой стрелки, а -по часовой стрелки.

Главные напряжения и сечения

Сечения называются главными, если:

• нормальные напряжения достигают экстремальных значений;
• касательные напряжения отсутствуют (равны нулю).

При этом, каким из признаков пользоваться - безразлично, один из них всегда может представлен как следствие другого.

Определим положение главных сечений по второму признаку, полагая, что сечение CD главное, т.е. , а, следовательно

, (а)

Подставив (а) в (2) получим

(4)

Здесь - определяют положение грани CD , когда она становится главным сечением. Система (4) относительно неизвестных является однородной и имеет решение отличное от нуля, только когда определитель системы (4) равен нулю (теорема Руше), т.е.

(5)

В развернутом виде, а после преобразований

(6)

Решая квадратное уравнение, находим модули главных напряжений

Откуда

(7)

Оба корня (7) уравнения (6) являются вещественными, они и дают значения двух главных напряжений и, а третье как отмечалось ранее, в плоском случае напряженного состояния равны нулю. Если, то, то в соответствии с условием, получим, .

Главные напряжения и, т.е. корни уравнения (6) определяются характером напряженного состояния, и не зависит, от того какая система координатных осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте осей X , Y коэффициенты и уравнения (6) должны оставаться неизменными (что). Поэтому называются инвариантами напряженного состояния.

Найдем направление главных напряжений, или - направляющие косинусы, определяющие положение главных сечений, полагая и вычисленными из выражений (7).

Для этого имеется система уравнений (5), но она однородная и корни её, отличные от нуля, определить невозможно. Из курса тригонометрии известно

(8)

(в)

то получим систему уравнений (8) и (в) неоднородную и определенную, решая которую и установим положение главных сечений.

Подставив в (в) вначале будем иметь

(с)

Косинусы углов, которые составляет с координатными осями X и Y нормаль к первому главному сечению, что те же главные напряжения.

Решая систему уравнения (с) получим

(9)

Таким же образом, подставив в (в)

(10)

В (9) и (10) - углы отмеряемые вращением против хода часовой стрелки от оси X до нормалей к сечениям, в которых действуют соответственно главные напряжения и.

Установим положение главных сечений по отношению друг к другу. Для этого, перемножим почленно уравнения (9) и (10)

(d )

При подстановке в (d ) значений и из (7) после преобразований приходим к следующему выражению

(е)

Т.к. , то можно написать. Значить

Отсюда следует, что главные сечения взаимно перпендикулярны, а и (9 ’ ), (10 ’ )

Заметим, что сложив обе строки формулы (7), будем иметь - во взаимно перпендикулярных сечениях сумма нормальных напряжений постоянна .

Главные деформации

Определим деформации в направлении главных напряжений. Для этого мысленно выделим из тела, находящегося в плоском напряженном состоянии прямоугольный элемент, грани которого параллельны главным сечениям. Т.к. по граням действуют только нормальные напряжения, то направления главных напряжений будет совпадать с деформациями, называемыми главными. Используя формулы обобщенного закону Гука и полагая, получим

(11)

Экстремальные касательные напряжения

Предположим, что по граням BC и BD треугольной пластинки BCD действуют главные напряжения и. Тогда и выражения (3) примут вид

(k )

(m )

Исследуем функцию (m ) на экстремум, исходя из условия существования. Дифференцируем (m ) по.

В общем случае, следовательно (s ).

Значок при поставлен для того, чтобы отличить корни уравнения (s ), определяющие положение сечений, в которых достигает экстремальных значений, от корней уравнений (9), (10) определяющих положение главных сечений.

Уравнение (s ) в пределах имеет два корня, отличающихся друг от друга на и, откуда получаем.

Т.о. сечения в которых касательные напряжения достигают наибольшего абсолютного значения, располагаются под углом к главным сечениям. Эти сечения также взаимно перпендикулярны.

При и выражение (k 0 принимает вид

(12)

В этих же сечениях

или (13)

На рисунке и в дальнейшем отсчет углов ведется от оси (2 или 3), совпадающей по направлению с наименьшим из главных напряжений (или). Тогда, в соответствии с изложенным, под углом к этой оси располагается нормаль к сечению с, а под углом - с. На гранях пластинки abcd , кроме касательных напряжений могут быть и нормальные, определяемые по формуле (13). Заметим, что всегда больше нуля и поэтому имеет направление, при котором создает вращение элемента abcd относительно любой точки внутри него против часовой стрелки, -по часовой стрелки. В общем случае плоского напряженного состояния, когда заданы не главные напряжения, а и модули экстремальных можно определить по формуле

(14)

которые получены при подстановке (7) в (12).

Удельная потенциальная энергия

При растяжении (сжатии) внешние силы совершают работу вследствие перемещения точек их приложения и вызывают деформации материала. При деформации совершают работу и внутренние силы упругости. Известно, что энергия, накопленная телом при деформации, называется потенциальной энергией деформации, а величина этой энергии, отнесенная к единице объема материала – удельной потенциальной энергией. При центральном растяжении (сжатии) вычисляли из выражения. В плоском напряженном состоянии удельная потенциальная энергия деформации получится как сумма двух слагаемых

Т.к. и, тогда

(15)

Рассмотрим тонкую пластинку под действием сил, лежащих в плоскости пластинки (рис. 2.12). В этой плоскости расположим систему координат (х, у). Торцевые (фасадные) поверхности пластинки свободны от напряжений, и потому

Векторы напряжений и лежат в одной плоскости, и напряженное состояние называется плоским. Отметим, что все точки пластинки находятся в плоском напряженном состоянии. В общем случае понятие «плоское напряженное состояние» относится к рассматриваемой точке элемента конструкции.

Если в данной точке А существует площадка, в которой отсутствуют (нормальное и касательное) напряжения, то напряженное состояние в точке является плоским. Например, в точках свободной поверхности детали (рис. 2.13) напряженное состояние будет плоским (ось z в точке А направлена по нормали к поверхности).

Особая важность плоского напряженного состояния связана с тем, что оно реализуется в точках поверхности элементов конструкции, которые часто являются «опасными точками». (точками с наибольшими напряжениями в поверхностном слое).

Напряжения в косых площадках при плоском напряженном состоянии. Изучим напряжения в косых площадках, перпендикулярных плоскости пластинки (рис. 2.14).

Рис. 2.12. Плоское напряженное состояние

Рис. 2.13. Плоское напряженное состояние в точках свободной поверхности детали

Условный термин «косая» или «наклонная» площадка означает, что нормаль к площадке не совпадает ни с одной из осей выбранной системы координат.

В площадке ВС, нормаль к которой v составляет угол а с осью х, действуют нормальное и касательное напряжения. Напряжения распределены равномерно по толщине пластинки h, торцевые грани элемента ABC не загружены. Ближайшая задача состоит в определении величин из условий равновесия элемента АБС. Проектируя все усилия на направление нормали v, найдем

Массовые силы, действующие на элемент,

составляют усилия второго порядка малости, и в уравнении (15) они отсутствуют. Учитывая, что из рис. 2.14 следует

получим из соотношения (15)

Проектируя все усилия на направление вектора найдем

Формулы (17) и (19) дают значение нормальных и касательных напряжений в косой площадке.

Замечания. 1. Следует строго уяснить, что при выводе уравнений (15) и (18) рассматриваются условия равновесия не напряжений (таких условий не существует!), а действующих усилий по граням элемента.

2. Напряжения по граням элементарного объема (рис. 2.14) распределяются равномерно. Косую площадку можно рассматривать как косое сечение в элементарном параллелепипеде (рис. 2.15), и те же результаты (равенства (17) и (19)) вытекают из условий равновесия заштрихованной частя параллелепипеда.

3. Неизвестные векторные величины, для которых принято определенное правило знаков, при выводе следует принимать положительно направленными. Например, на рис. 2.14 направлено как растягивающее напряжение.